TODENNÄKÖISYYSMALLI

Jokapäiväisessä elämässä ihminen kohtaa alati sellaisia tapahtumia, joiden esiintymisestä hän ei voi olla ennakolta täysin varma. Jo tuhansien vuosien ajan hän on jättänyt jälkeensä olemassaolostaan merkkejä, joista on pääteltävissä, että noiden epävarmuuden verhoamien tapahtumien ennustaminen on eräs ihmismieltä eniten kiehtovista ongelmista. Ennusteita on laadittu milloin jumalilta neuvoa kysyen, milloin lampaan sisäelimiä, sammakon reisiä, kahvin poroja tai taivaankappaleiden asentoja tutkien. Tiedettä, erityisesti matematiikkaa, on myös valjastettu jo useita satoja vuosia palvelemaan ennustamisen tavoitteita. Nykyaikaiset laskuteholtaan mielikuvitukselliset tietokoneet yhdistettynä matematiikan saavutuksiin muodostavatkin varteenotettavan apuneuvon esimerkiksi säätilan ennustamisessa.

Lähtökohta ilmiön mallintamiselle on mahdollisten vaihtoehtojen joukon S määrittely. Tapahtuma A, joka voi sattua tai voi jäädä sattumatta, on satunnainen tapahtuma. Tapahtuma, jonka esiintyminen on väistämätöntä sen vuoksi, että siihen johtaa jokainen S:n vaihtoehto, on varma tapahtuma, ja tapahtuma, joka ei voi sattua, on mahdoton. Esimerkiksi lentomatkalle lähdettäessä voidaan pohdiskella, että tapahtuma "lentokoneen nopeus ylittää valon nopeuden" on mahdoton ja tapahtuma "lentokone palaa nousun jälkeen joskus maapallon pinnalle" on varma, mutta tapahtuma "matka päättyy lentokoneen onnistuneeseen laskuun" on satunnainen.

Ilmiöitä, joihin liittyy satunnaisia tapahtumia, sanotaan niiden matemaattisessa teoriassa, todennäköisyyslaskussa, satunnaiskokeiksi. Mahdollisten vaihtoehtojen joukko S sisältää kaikki erilaiset satunnaiskokeen toteutumat, realisaatiot, ja käsitteet varma, mahdoton, satunnainen tapahtuma määritellään aina tietyn vaihtoehtojen joukon S suhteen. Tieto tapahtuman satunnaisuudesta kertoo, että ne ehdot, joilla satunnaiskoe suoritetaan, eivät takaa tapahtuman esiintymistä. Silloin syntyy tarve määrätä eksakti kvantitatiivinen arvo tai ainakin hyvä arvio satunnaisen tapahtuman esiintymisen mahdollisuudelle. Kuinka todennäköistä on, että matka päättyy lentokoneen onnistuneeseen laskuun? Todennäköisyyslaskun teoria on syntynyt yrityksistä etsiä tällaisiin ongelmiin matemaattista vastausta.

Monilla tieteen ja teknologian aloilla on huomattu, että pitkissä havaintosarjoissa tietyn tapahtuman suhteellinen esiintymisfrekvenssi saattaa lähennellä jotain vakioarvoa. Todennäköisyysteoria käyttää tätä vakiota kvantitatiivisena mittana kuvattaessa tapahtuman esiintymismahdollisuutta. Jos esimerkiksi kappaletavaran tuotannossa virheellisten yksiköiden suhteellinen osuus pysyttelee arvossa 0.10 eli 10%, liitetään arvo 0.10 tapahtumaan A = "valmistuva yksikkö on virheellinen". Tämä ilmaistaan merkinnällä P(A) = 0.10, missä P(A) tarkoittaa tapahtuman A todennäköisyyttä.

Todennäköisyyslaskun historia alkaa uhkapeleistä, joita ihmiskunta on todistettavasti harrastanut jo tuhansia vuosia. Matemaattinen teoria on kuitenkin siihen nähden varsin nuori. Kautta aikojen satunnaiskokeen tuloksessa on nähty jumalallisen tahdon ilmaus eikä tällaista ilmiötä ole rohjettu pukea matematiikan kaavoihin ennen kuin 1500-luvulla alkaneen luonnontieteiden vallankumouksen huumassa. Ensimmäisiä uhkapeleihin liittyvien todennäköisyyksien laskijoita olivat italialaiset Girolamo Cardano (1501-1576) ja Galileo Galilei (1564-1642). Cardano jopa julkaisi uhkapelien todennäköisyyslaskua käsittelevän kirjan Liber de Ludo Aleae vuonna 1520. Varsinainen todennäköisyysteorian kehitys alkoi kuitenkin vasta 1600-luvun jälkipuoliskolla ranskalaisten Blaise Pascal (1623-1662) ja Pierre de Fermat (1601-1665) kuuluisasta kirjeenvaihdosta. Vuonna 1655 heidän seuraansa liittyi hollantilainen Christian Huygens (1629-1695), joka julkaisi vuonna 1657 todennäköisyyslaskua käsittelevän kirjan nimeltä De Ratiocinates in Aleae Ludo. Mainittujen henkilöiden jälkeen tulee joukko maineikkaita matemaatikoita, James Bernoulli (1654-1705), Abraham de Moivre (1667-1754), Pierre-Simon Laplace (1749-1827), Simeon Denis Poisson (1781-1840) ja Karl Friedrich Gauss (1777-1855), joiden kontribuutioita voidaan ihailla kaikissa hyvissä todennäköisyyslaskun oppikirjoissa. Heidän töitään veivät merkittävällä tavalla eteenpäin venäläiset Pafnuty Chebyshev (1821-1894), Andrei Markov (1856-1922) ja Aleksandr Lyapunov (1857-1918).

1900-luvun alussa todennäköisyyslasku oli kehittynyt jo laajaksi teoriaksi, mutta kaiken selkänojaksi sopiva aksiomatiikka vielä puuttui. Tässä vaiheessa todennäköisyyden frekvenssitulkinta vaikutti kaikista tulkinnoista tyydyttävimmältä. Frekvenssiteoriasta kuuluisa on Richard von Mises (1883-1953), jonka filosofisista teoksista tunnettuja ovat 1931 ilmestynyt Wahrscheinlichkeitsrechnung ja Probability, Statistics, and Truth vuodelta 1939. Tapahtuman A todennäköisyys määritellään tämän tulkinnan mukaan P(A) = lim (N(A)/N), missä N lähestyy ääretöntä ja N on satunnaiskokeen riippumattomien toistojen lukumäärä ja N(A) tapahtuman A esiintymiskertojen lukumäärä kyseisessä toistokokeessa. Määrittely on kuitenkin matemaattisesti ongelmallinen eikä sovi teorian pohjaksi. Käytännössä raja-arvoa N(A)/N, kun N lähestyy ääretöntä, ei voi määrittää, koska koetta ei voida toistaa äärettömän monta kertaa. Ei myöskään tiedetä, kuinka paljon tietyllä N:n arvolla saatu suhde poikkeaa raja-arvosta. Edelleen, mikään ei takaa sitä, että raja-arvo olisi olemassa. Ja jos raja-arvon olemassaolo otetaan aksioomaksi, ei ole varmuutta siitä, että eri toistokokeissa saadaan sama raja-arvo. Jos todennäköisyys ajatellaan mitaksi, jolla arvioidaan tapahtuman esiintymisen mahdollisuutta, ei aina ole mahdollista hankkia arvoa koetta toistamalla.

Matemaattisen todennäköisyyslaskun aksiomatiikan esitti vihdoin venäläinen Andrei Kolmogorov (1903-1987) vuonna 1933 julkaisemassaan kuuluisassa teoksessa Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Kolmogorovissa kohtasivat todennäköisyyslasku ja mittateoria, joka oli saanut täsmällisen matemaattisen muotonsa 1900-luvun alussa.

Pertti Laininen: Todennäköisyys ja sen tilastollinen soveltaminen, Otatieto, 1998.